ČeskyEnglish

Popis předmětu - A2M01VKM

Přehled studia | Přehled oborů | Všechny skupiny předmětů | Všechny předměty | Seznam rolí | Vysvětlivky               Návod
A2M01VKM Vybrané kapitoly z matematiky Rozsah výuky:4+2
Garanti:  Role:V Zakončení:Z,ZK
Vyučující: 
Zodpovědná katedra:13101 Kreditů:8 Semestr:Z

Anotace:

První část přednášky je věnována některým partiím maticové analýzy, především vlastnostem matic, které souvisí s vlastními čísly a vlastními vektory matic. Je to např. pojem podobnosti matic, spektrální rozklad matic a singulární rozklad matic a jeho užití. Ve druhé části je vysvětlen pojem parciální diferenciální rovnice a okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice. Fourierova metoda je předvedena na některých konkrétních okrajových úlohách s použitím speciálních funkcí, zvláště Besselových a Legendreových sférických funkcí.

Osnovy přednášek:

Část I - maticová analýza
1. Opakování základních pojmů lineární algebry. Algebra matic, násobení matic, blokově rozdělené matice.
2. Skalární součin, norma vektoru, Grammova-Schmidtova ortogonalizace.
3. Hermitovské, unitární a reálné ortonormální matice.
4. Charekteristická čísla a vektory matice. Podobnost matic, diagonalizovatelné matice.
5. Věta o spektrálním rozkladu pro hermitovské matice. Schurův rozklad a normální matice. Definitnost matic.
6. Diskrétní Fourierova transformace, Fourierova matice, princip rychlé Fourierovy transformace.
7. Singulární rozklad matice, metoda nejmenších čtverců, Moore-Penroseova pseudoinverzní matice.
Část II - parc. dif. rovnice a Fourierova metoda
8. Pojem parciální diferenciální rovnice, rovnice druhého řádu,vlnová rovnice, rovnice vedení tepla, Laplaceova a Poissonova rovnice. Okrajové úlohy.
9. Kmity struny konečné délky, kmity obdélníkové membrány, Fourierova metoda pro tyto úlohy.
10. Vlnová rovnice v cylindrických souřadnicích, Besselova rovnice a Besselovy funkce.
11. Fourierovy-Besselovy řady a Dini-Besselovy řady. Řešení úlohy o kmitech kruhové membrány.
12. Úlohy se sférickou symetrií, Legendreova rovnice, Legendreovy sférické funkce.
13. Řešení některých okrajových úloh pomocí sférických funkcí.

Osnovy cvičení:

Část I 1. Prostory R^n a C^n, lineární podprostory, báze dimenze.
2. Skalární součin, Grammova-Schmidtova ortogonalizace.
3. Násobení matic, blokově rozdělené matice, soustavy lineárních
rovnic.
4. Vlastní čísla a vlastní vektory matice.
5. Diagonalizovatelné matice.
6. Unitární a ortogonální diagonalizace hermitovských a reálných
symetrických matic.
7. Pozitivně definitní a semidefinitní matice.
8. Singulární rozklad a metoda nejmenších čtverců.
Část II
9. Parciální diferenciální rovnice a některé okrajové úlohy.
10. Fourierova metoda pro úlohu o kmitech struny a jednorozměrnou
rovnici vedení tepla.
11. Kmity obdélníkové membrány a dvojné Fourierovy řady.
12. Kmity kruhové membrány, Besselovy funkce.
13. Úlohy se sférickou symetrií a sférické funkce.

Literatura:

1. M. Dont: Maticová analýza, Nakl. ČVUT, 2011.
2. D. C. Meyer: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM 2000.
3. M. Dont: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic, Nakl. ČVUT, druhé přeprac. vydání 2008.
4. E. A. Gonzáles-Velasco: Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Academic Press 1995.

Požadavky:

Požadavkem k udělení zápočtu je aktivní účast na cvičení. Požadavky ke zkoušce budou upřesněny během přednášky.

Předmět je zahrnut do těchto studijních plánů:

Plán Obor Role Dop. semestr
MPIB Před zařazením do oboru V


Stránka vytvořena 24.3.2017 18:00:25, semestry: Z,L/2016-7, Z,L/2017-8, Z/2018-9, připomínky k informační náplni zasílejte správci studijních plánů Návrh a realizace: I. Halaška (K336), J. Novák (K336)
Za obsah odpovídá: doc. Ing. Ivan Jelínek, CSc.